Online tool for finite element analysis of postmortem convective heat transfer of the head

Full Text

Обоснование

Одним из наиболее перспективных и активно развиваемых современных направлений в области термометрической диагностики давности наступления смерти является метод конечно-элементного анализа посмертного теплообмена [1–3]. Данный подход позволяет преодолеть ограничения, присущие феноменологическим уравнениям охлаждения трупа, поскольку непосредственно основывается на физике теплопередачи и принципиально может быть применён к любым условиям охлаждения [4–7].

Метод конечных элементов, используемый при оценке посмертного теплообмена, является валидированным инструментом решения в сложных геометрических объектах и краевых условиях дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, таких как, например, уравнение теплопроводности, которое в пространственной области Ω размерности n с системой координат $r=\left(r_1,...r_a\right)$ имеет вид

$c\left(r\right)\rho \left(r\right)\frac{\partial t}{\partial \tau }(r,\tau )=\nabla \left[\lambda \left(r\right)·\nabla t(r,\tau )\right]+f(r,\tau )$, (1)

где c ― удельная теплоёмкость; ρ ― плотность; λ ― теплопроводность; r ― координаты точки; $t(r,\tau )$ ― искомая функция, задающая температуру в точке пространства Ω в момент времени τ на промежутке [0,∞); $f(r,\tau )$ ― функция плотности источников тепла [6].

В процессе развития компьютерных технологий метод конечных элементов получил широкое распространение при решении различных термодинамических задач в технике, а также в медицине. В настоящее время на рынке присутствует значительное количество различных коммерческих пакетов программного обеспечения метода конечных элементов. Высокая стоимость этих продуктов, даже отечественного производства, существенно ограничивает возможности их использования в диагностике давности наступления смерти. Бесплатные же версии программных пакетов, выпускаемые в образовательных целях, характеризуются наличием ограничений на количество узлов в генерируемых сетках конечно-элементных моделей (КЭМ) или вовсе допускают постановку только двумерных задач. Кроме того, использование коммерческих решателей предполагает наличие у пользователей компетенций по самостоятельному построению геометрии КЭМ, заданию её теплофизических свойств и краевых условий. Это препятствует широкому внедрению метода конечных элементов для диагностики давности наступления смерти, сводя его к единичным эпизодам применения в научных целях, реализуемым к тому же коллективами исследователей, включающими в свой состав помимо судебных медиков математиков и программистов [2, 4–7].

В этой связи актуальность представляет разработка открытых судебно-медицинских онлайн-инструментов, адаптированных к решению конкретизированных задач конечно-элементного анализа теплообмена трупа и требующих от пользователя минимальных навыков в области метода конечных элементов. Соответствие названным условиям накладывает на подобный сервис облачных вычислений ряд следующих ограничений.

Основное требование к онлайн-решателю заключается в ограничении сложности геометрии КЭМ. Это связано с тем, что повышение сложности КЭМ сопровождается ростом вычислительных затрат и времени, необходимого для получения результата. Поэтому при достаточно сложной КЭМ с точной геометрией и конечно-элементной сеткой реализовать метод конечных элементов в онлайн-режиме не представляется возможным. Отсюда для онлайн-реализации КЭМ должна включать не весь труп, а только какую-то одну его часть, желательно с минимальной вариабельностью своего анатомического строения. Подобный подход помимо снижения вычислительных затрат позволяет также автоматизировать процесс создания геометрии КЭМ, избавляя пользователя от названного наиболее сложного этапа её разработки.

Второе требование заключается в лимитировании граничных условий теплообмена, всё многообразие которых желательно свести к какому-либо одному постоянно встречающемуся и преобладающему типу теплопередачи, каковым, в частности, является конвекция. Это также позволило бы автоматизировать процесс задания граничных условий, оставив пользователю только необходимость ввода величины коэффициента теплоотдачи.

С учётом названных ограничений одной из наиболее перспективных для конечно-элементного моделирования областей тела представляется голова, геометрия мозгового отдела которой очень близка к такому телу, как многослойный шар с равномерным распределением слоёв однородной структуры [8]. Поверхность шара имеет с касательной плоскостью только одну общую точку, что позволяет пренебречь потерями тепла путём теплопроводности при контакте головы с опорной поверхностью и не учитывать в КЭМ теплофизические свойства последней.

Цель работы ― разработка онлайн-инструмента конечно-элементного анализа посмертного конвективного теплообмена головы.

Материалы и методы

В работе представлена разработка КЭМ посмертного конвективного теплообмена головы с последующим построением на её основе онлайн-приложения, предназначенного для определения давности наступления смерти путём краниоэнцефальной термометрии трупа.

Геометрия конечно-элементной модели

В качестве геометрической модели головы взрослого человека и прежде всего её мозгового отдела использовали многослойный шар радиусом 98 мм, состоящий из пяти равномерно распределённых однородных слоёв: кожно-апоневротического лоскута (5 мм), костей свода черепа (5 мм), ликвора субарахноидального пространства (2 мм), а также поверхностного (17 мм) и глубокого (69 мм) слоёв головного мозга (86 мм). Два подслоя в блоке головного мозга выделяли с целью моделирования его начального температурного поля у человека, которое в поверхностном слое является неоднородным с монотонным понижением температуры [9, 10]. Непосредственно расчётной моделью являлось сечение шара диаметральной плоскостью с нулевой аппликатой всех его точек (рис. 1). Сгенерированная сетка КЭМ включала 1311 узлов и 9277 конечных элементов, в том числе 2552 треугольника и 6725 тетраэдров (см. рис. 1).

Рис. 1. Конечно-элементная модель мозгового отдела головы, заданная в онлайн-приложении.

Fig. 1. The finite element model of the brain region of the head, set in an online application.

Теплофизические свойства конечно-элементной модели

В онлайн-приложении предусматривали возможность произвольного задания теплофизических свойств выделенных в КЭМ анатомических слоёв головы. Поскольку на практике точное измерение удельной теплоёмкости, теплопроводности и плотности органов и тканей трупа затруднительно, по умолчанию задавали усреднённые теплофизические свойства актуальных тканей (табл. 1), указанные в специальной литературе [1, 6–10].

Таблица 1. Теплофизические свойства, по умолчанию заданные в конечно-элементной модели

Table 1. Thermophysical properties, set by default in the finite element model

Начальное температурное поле

Поиск начального температурного поля КЭМ сопровождался решением уравнения Лапласа ($∆t=0$) c краевыми условиями Дирихле, соответствовавшими постоянной температуре на поверхностях выделенных анатомических слоёв:

$t \overline{){}_{\partial \Omega }=const}$,

где Δt ― оператор Лапласа в декартовой системе координат трёхмерного пространства с осями ox, oy и oz, определяемый как

$\Delta t=\frac{{\partial }^{2}t}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}t}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}t}{\partial z^2}$,

а символ ∂Ω обозначает границу области Ω.

По умолчанию в качестве условий Дирихле задавали усреднённые прижизненные температуры на внешних границах слоёв (см. табл. 1). Затем, используя слабую формулировку уравнения Лапласа, выводили матричное уравнение [11, 12], из которого находили начальную температуру в каждой точке КЭМ (рис. 2).

Рис. 2. Начальное температурное поле диаметрального сечения конечно-элементной модели.

Fig. 2. The initial temperature field of the diametrical section of the finite element model.

Посмертное температурное поле

На следующем этапе находили посмертное температурное поле расчётной области. Сумму выделяемой внутренними источниками тепловой энергии и теплопотерь за счёт радиационного теплообмена ввиду их небольшой величины и примерно одинаковых количеств принимали равной нулю [8], также предполагали, что в силу однородности выделенных в КЭМ анатомических слоёв их теплофизические свойства являются константами. С учётом названных допущений уравнение теплопроводности (1) принимает вид

$\frac{\partial t}{\partial \tau }=a\Delta t$,

где а ― коэффициент температуропроводности, м²/с, равный

$a=\frac{\lambda }{c\rho }$,

где c ― удельная теплоёмкость, Дж/(К×кг); ρ ― плотность, кг/м³; λ ― коэффициент теплопроводности, Вт/(м×К).

В качестве начального условия поставленной задачи нестационарного теплопереноса принимали найденное на первом этапе стационарное начальное температурное поле

$t(r,0)=t_0\left(r\right)$.

Для моделирования охлаждения в воздушной среде на внешнем ребре модели задавали конвективный теплообмен с воздухом, протекающий по закону Ньютона–Рихмана:

$\left(\frac{\partial t}{\partial n}\right)=-\frac{\alpha }{\lambda }(t_s-t_a)$,

где n ― нормаль к поверхности охлаждаемой части тела, м; s ― индекс, обозначающий поверхность физического тела; α ― коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²×К); t_a ― температура внешней среды, К. Коэффициент теплоотдачи в расчётах задавали постоянным и одинаковым для всей поверхности КЭМ. Актуальный расчётный период принимали равным 24,5 ч с шагом интегрирования 600 с.

Валидация конечно-элементной модели

В ходе валидации онлайн-приложения проверяли адекватность выполняемых им расчётов метода конечных элементов и адекватность геометрии КЭМ и заданных теплофизических свойств.

Адекватность метода конечных элементов тестировали путём оценки соответствия посмертных температурных полей КЭМ при различных условиях конвективной теплоотдачи и внешнего температурного режима с таковыми, полученными с помощью бесплатной версии приложения ELCUT 6.6 (https://elcut.ru/downloads_r.htm) для КЭМ с аналогичной геометрией, теплофизическими свойствами и краевыми условиями.

Адекватность геометрии КЭМ и заданных теплофизических свойств подтверждали путём оценки соответствия посмертных температурных кривых для центра и поверхности КЭМ, полученных с помощью разработанного онлайн-приложения, таковым, вычисленным по уравнениям с общепризнанной валидностью, основанным на законах охлаждения Ньютона–Рихмана и Marshall–Hoare [8, 13].

В качестве валидного описания посмертной динамики краниоэнцефальной температуры использовали уравнение Henssge:

$\frac{t-t_a}{37,2-t_a}=1,135{\mathfrak{e}}^{-0,127\tau }-0,135{\mathfrak{e}}^{-1,07\tau }$, (2)

где t ― краниоэнцефальная температура, °С; t_а ― внешняя температура, °С; τ ― давность наступления смерти, ч [8, 14].

В качестве эталона динамики охлаждения поверхности головы применяли уравнение, основанное на законе охлаждения Ньютона-Рихмана:

$t=t_a+(t_0-t_a)e^{-k\tau }$, (3)

где t ― поверхностная температура, °С; t₀ ― начальная поверхностная температура, °С; k ― константа охлаждения, ч⁻¹ [8, 14].

В уравнении (3) начальную температуру поверхности головы задавали равной 31°С, а константу k определяли по формуле:

$k=-\frac{1}{∆\tau }\ln \frac{t_2-t_a}{t_1-t_a}$,

где t₁ и t₂ ― температура поверхности головы в 23 ч и 24 ч посмертного периода соответственно, °С; Δτ ― промежуток времени между указанными измерениями, равный 1 ч [8].

В ходе валидации КЭМ находили и оценивали её посмертное температурное поле при внешней температуре от 10°С до 22°С и коэффициенте теплоотдачи от 5 до 25 Вт/(м²×К).

Язык программирования

Код онлайн-приложения, предназначенного для операционных систем Windows и Linux, составляли на языке программирования Python 3. При разработке пользовательского интерфейса также использовали библиотеку React из языка JavaScript. В качестве асинхронной очереди задач на расчёт и брокера сообщений применяли инструменты Celery и Redis.

Результаты

На основе разработанной КЭМ было создано приложение Simple Finite Element Model of Postmortem Convective Heat Transfer of the Head (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2024668362) объёмом 1,779 Гб, предназначенное для конечно-элементного онлайн-анализа посмертного конвективного теплообмена головы (https://forenscalc.ru/simple-fem).

Для работы с онлайн-приложением пользователю необходимо указать координаты диагностической точки из области мозгового отдела головы, температуру внешней среды в посмертном периоде, коэффициент теплоотдачи, толщину и теплофизические свойства анатомических слоёв головы (начальную температуру, плотность, теплопроводность и удельную теплоёмкость). Результатом работы приложения является визуализация внешнего температурного тренда и кривых охлаждения в диагностической точке и на поверхности головы в первые сутки посмертного периода с генерацией числовых значений указанных температур в виде файла с расширением .csv, доступного в личном кабинете пользователя. Построение графиков выполняется приложением в режиме реального времени (real-time). Помимо числовых данных, в личном кабинете пользователя дополнительно формируются файлы с расширениями .msh и .png, содержащие графическую и табличную информацию о геометрии и свойствах сетки КЭМ, а также начальную термограмму вдоль контура интегрирования от центра КЭМ до диагностической точки.

Сравнение кривых охлаждения, полученных в одинаковых условиях с помощью разработанного онлайн-приложения и программы ELCUT 6.6, установило их практически полное соответствие. Незначительные несовпадения были обусловлены небольшим количеством узлов и элементов в сетке КЭМ бесплатной версии приложения ELCUT 6.6. и, следовательно, меньшей точностью её вычислений. Дальнейшая отладка КЭМ в различных условиях конвективного теплообмена с отсутствием внешней радиации и контакта с другими физическими телами показала максимальную сходимость её вычислительных результатов с таковыми уравнений (2) и (3) при задании коэффициента теплоотдачи, равного 6 Вт/(м²×К).

Помимо ввода константных значений внешней температуры, приложение допускает также задание любых типов её изменений, описываемых функциями из библиотеки Python 3. Для этого в соответствующее текстовое поле достаточно ввести составленную в соответствии с синтаксисом Python-библиотеки NumPy функцию внешней температуры от давности наступления смерти, измеряемой в секундах.

При отсутствии у судебно-медицинского эксперта информации о биометрических и теплофизических свойствах тканей головы конкретного трупа или их начального температурного поля, а также характеристик конвективного теплообмена следует проводить расчёты, используя заданные по умолчанию значения, в том числе коэффициента теплоотдачи, равного 6 Вт/(м²×К). В этом случае при постоянной внешней температуре результаты метода конечных элементов для точки начала координат в КЭМ будут соответствовать таковым уравнения C. Henssge.

Приведём пример. Внешняя температура в посмертном периоде изменялась по синусоидальной кривой, описываемой уравнением

$T_a=5+10\sin (0,0001t)$,

где t ― давность наступления смерти, с (рис. 3).

Рис. 3. Графики охлаждения центра и поверхности конечно-элементной модели при синусоидальных изменениях внешней температуры. Условные обозначения: 1 ― температура в точке с нулевой радиальной координатой; 2 ― температура в точках поверхности конечно-элементной модели; 3 ― внешняя температура. ДНС ― давность наступления смерти.

Fig. 3. Graphs of cooling of the center and surface of the finite element model with sinusoidal changes in external temperature. Symbols: 1 ― temperature at a point with zero radial coordinate; 2 ― temperature at points on the surface of the finite element model; 3 ― ambient temperature. ДНС ― postmortem interval.

Необходимо вычислить динамику краниоэнцефальной температуры трупа при усреднённых биометрических и теплофизических параметрах тканей головы и конвективном теплообмене с коэффициентом теплоотдачи 6 Вт/(м²×К).

Для решения задачи в соответствующих текстовых полях онлайн-приложения Simple Finite Element Model of Postmortem Convective Heat Transfer of the Head необходимо указать декартовы координаты диагностической точки, равные нулю. Графические результаты расчётов представлены на рис. 3.

Технически приложение допускает ввод только абсциссы и ординаты точки, аппликата которой всегда равна нулю. По умолчанию приложение всегда производит расчёты для точки центра КЭМ с нулевыми координатами, а также для точек поверхности головы с радиальной координатой, равной 98 мм.

Разработанное приложение сохраняет в личном кабинете пользователя историю всех расчётов. По этой причине, а также для обеспечения конфиденциальности данных для входа на веб-страницу приложения требуется пройти процедуру регистрации.

Обсуждение

Поскольку возможности феноменологических уравнений охлаждения трупа в плане термометрической диагностики давности наступления смерти практически исчерпаны, основным методом решения данной научно-практической задачи остаётся конечно-элементный анализ посмертного теплообмена мёртвого тела в целом или его отдельных частей. Однако существенным препятствием на пути внедрения метода конечных элементов остаются его сложность, необходимость приобретения коммерческих пакетов программного обеспечения и наличие у пользователя умений по их использованию, наиболее важными из которых следует считать построение геометрии и сетки КЭМ, задание её теплофизических свойств и краевых условий.

В ходе проведённого исследования впервые разработано открытое судебно-медицинское онлайн-приложение конечно-элементного анализа посмертного теплообмена, позволяющее в режиме real-time рассчитать кривую охлаждения для любой точки мозговой части головы трупа и не требующее от пользователя компетенций по заданию геометрии, теплофизических свойств и краевых условий КЭМ.

Геометрия КЭМ созданного онлайн-приложения является масштабируемой и аппроксимирована многослойным шаром, поскольку при условии адекватной фиксации общих объёмов тканей геометрическое разрешение модели практически не влияет на точность определения давности наступления смерти [5]. Правомерность использованной аппроксимации уже была подтверждена ранее на двумерной КЭМ с грубой сеткой всего из 254 конечных элементов однотипной треугольной формы [8]. Названное упрощение геометрии, выполненное с повышением дискретизации расчётной области до 9277 конечных элементов, позволило значительно уменьшить вычислительные затраты и автоматизировать процесс создания КЭМ, а также сделало возможным выполнение расчётов в онлайн-режиме, повысив при этом их точность по сравнению с двумерными КЭМ.

При наличии соответствующих данных пользователь может задавать в расчётах толщину каждого из пяти актуальных анатомических слоёв: кожно-апоневротического лоскута, свода черепа, лептоменинкса с ликвором, поверхностного и глубокого блоков мозга, а также их основные теплофизические свойства и начальную температуру их внешних границ. Это позволяет учитывать реальную геометрию и размеры расчётной области и составляющих её тканевых структур. Кроме того, доступно задание величины конвективного теплообмена, значение коэффициента теплоотдачи которого зависит от типа и скорости перемещения охлаждающей труп среды [15–18].

Важным преимуществом разработанного онлайн-приложения, как и всех аналогичных программных пакетов, основанных на методе конечных элементов, является возможность расчёта кривой охлаждения для любой точки мозгового отдела головы. Интерфейс онлайн-приложения позволяет указать декартовы координаты сечения головы диаметральной плоскостью. Однако ввиду осевой симметрии КЭМ достаточно принять одну из декартовых координат равной нулю, а вместо второй задать радиальную координату точки, соответствующую расстоянию от центра КЭМ, расположенного в толще межталамического сращения головного мозга, до конца раневого канала от игольчатого термощупа. Возможность учёта в расчётах координат диагностической точки позволяет устранить такой присущий феноменологическим уравнениям тип погрешностей определения давности наступления смерти, как диагностические промахи, связанные с отклонениями конца термощупа от точки с наивысшей температурой при проведении краниоэнцефальной термометрии [19].

Помимо учёта особенностей начального температурного поля, размеров охлаждаемой части тела, интенсивности конвективного теплообмена и координат диагностической точки, онлайн-приложение при определении давности наступления смерти позволяет также принять во внимание изменения внешней температуры в процессе остывания мёртвого тела.

К факторам, ограничивающим применение разработанного онлайн-инструмента определения давности наступления смерти, следует отнести комбинированные условия охлаждения трупа, наиболее существенными из которых являются комбинации конвекции с внешним тепловым потоком, например с интенсивной прямой солнечной радиацией или теплопередачей за счёт теплопроводности при значительном по площади контакте охлаждаемой части тела с другими предметами. Ограничением является также асимметрия конвективного теплообмена, сопровождаемая неоднородностью значений коэффициента теплоотдачи на различных участках поверхности головы. Такая ситуация может возникнуть вследствие одновременного расположения головы трупа в различных средах, например в водной и воздушной, или из-за наличия головного убора.

В целом перечисленные ограничения могут быть устранены, но ценой необходимости возложения на пользователя обязанности самостоятельного задания геометрии и краевых условий КЭМ. По этой причине выбранный разработчиками приложения диапазон учитываемых при вычислениях условий охлаждения и геометрических характеристик расчётной области является компромиссом между возможностями моделирования последних и простотой интерфейса приложения.

Таким образом, изложенные данные позволяют использовать разработанное приложение в судебно-медицинской экспертной практике для онлайн-установления давности наступления смерти в раннем посмертном периоде путём краниоэнцефальной термометрии трупа при отсутствии неоднородности конвективного теплообмена головы или его комбинации с другими типами теплопередачи.

Заключение

Одним из наиболее перспективных современных направлений в области термометрической диагностики давности наступления смерти является метод конечно-элементного анализа посмертного теплообмена, позволяющий преодолеть ограничения, присущие феноменологическим уравнениям охлаждения трупа. Однако доступные пакеты программного обеспечения метода конечных элементов характеризуются высокой стоимостью, а также предполагают наличие у пользователя навыков самостоятельного задания условий решаемых задач и анализа результатов выполненных вычислений.

В ходе проведённого исследования разработано открытое онлайн-приложение конечно-элементного анализа посмертного конвективного теплообмена головы человека, предназначенное для определения давности наступления смерти путём краниоэнцефальной термометрии трупа. Для достижения возможности выполнения вычислений в онлайн-режиме геометрия головы при расчётах аппроксимирована многослойным шаром. В отличие от феноменологических уравнений разработанное онлайн-приложение при определении давности наступления смерти позволяет учитывать особенности начального температурного поля, размеры и теплофизические свойства основных анатомических слоёв головы, интенсивность конвективного теплообмена, координаты диагностической точки и изменения внешней температуры в процессе охлаждения трупа. Результатом работы онлайн-приложения являются визуализация кривых охлаждения в диагностической точке и на поверхности головы в первые сутки посмертного периода с генерацией соответствующих числовых значений, а также вывод информации о геометрии и свойствах сетки КЭМ и распределении температуры вдоль контура интегрирования от центра КЭМ до диагностической точки. История и результаты расчётов сохраняются в личном кабинете пользователя.

В отличие от других программных пакетов разработанный решатель не предъявляет высоких системных требований к компьютеру, поскольку реализован в виде веб-приложения с выполнением всех вычислений на сервере, и не требует наличия у пользователя специальной математико-инженерной подготовки. Изложенное позволяет использовать метод конечных элементов в формате разработанного онлайн-инструмента в судебно-медицинской экспертной практике при установлении давности наступления смерти путём краниоэнцефальной термометрии трупа.

Дополнительная информация

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении работы.

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Вклад авторов. Все авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение работы и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией). Наибольший вклад распределён следующим образом: В.Г. Недугов ― разработка вычислительного алгоритма метода конечных элементов, написание исходного кода онлайн-приложения, научное редактирование рукописи, рассмотрение и одобрение окончательного варианта рукописи; Г.В. Недугов ― концепция и дизайн работы, разработка геометрии конечно-элементной модели, сбор данных по теплофизическим свойствам тканей головы, тестирование и валидация онлайн-приложения, написание текста рукописи.

Additional information

Funding source. This article was not supported by any external sources of funding.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Authors’ contribution. All authors made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the work, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the work. V.G. Nedugov: development of the computational algorithm, writing the source code of the online application, scientific editing of the manuscript, review and approval the final version of the manuscript; G.V. Nedugov: concept and design of the work, development of the geometry of the finite element model, collection of data on the thermophysical properties of head tissues, testing and validation of the online application, writing the manuscript.

About the authors

Vladimir G. Nedugiv

Email: nedugovvg@gmail.com
ORCID iD: 0009-0007-7542-7235
SPIN-code: 2407-7937
Россия, Samara

German V. Nedugov

Author for correspondence.
Email: nedugovh@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-7380-3766
SPIN-code: 3828-8091

MD, Dr. Sci. (Medicine), Assistant Professor

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. The finite element model of the brain region of the head, set in an online application.

Download (200KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. The initial temperature field of the diametrical section of the finite element model.

Download (229KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Graphs of cooling of the center and surface of the finite element model with sinusoidal changes in external temperature. Symbols: 1 ― temperature at a point with zero radial coordinate; 2 ― temperature at points on the surface of the finite element model; 3 ― ambient temperature. ДНС ― postmortem interval.

Download (109KB)

Indexing metadata